Keadaan Stasioner Dan Persamaan Nilai Eigen

$\psi \left( r,t \right)=\varphi \left( r \right)f\left( t \right)$    …(1) tidak bergantung waktu sehingga persamaan ini dapat diuraikan menjadi perkalian bagian yang hanya bergantung ruang dan bagian yang hanya bergantung waktu

Persamaan gelombang schrodinger dalam potensial bergantung waktu $V=V\left( r,t \right)$

$i\hbar \frac{d\psi \left( r,t \right)}{dt}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}\psi \left( r,t \right)+V\left( r,t \right)\psi \left( r,t \right)$    … (2)

Subs. Pers.(1) ke (2) dan di bagi $\varphi \left( r \right)f\left( t \right)$

$\frac{i\hbar }{f}\frac{df}{dt}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\nabla }^{2}}\varphi }{\varphi }+V\left( r \right)$    … (3)

Ruas kiri dan kanan sama. Kita ambil konstanta E

$E=\frac{i\hbar }{f}\frac{df}{dt}$    … (4)

$E=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\nabla }^{2}}\varphi }{\varphi }+V\left( r \right)$    … (5)

Solusi pers.(4) akan sebanding dengan ${{e}^{-iEt/\hbar }}$  , maka

$\psi \left( r,t \right)=\varphi \left( r \right)f\left( t \right)$  menjadi

$\psi \left( r,t \right)=\varphi \left( r \right){{e}^{-iEt/\hbar }}$    … (6)   keadaan stasioner

Kalo $t\to \infty $ maka ${{e}^{-iEt/\hbar }}=0$  dan tidak memenuhi syarat keberadaan partikel (normalisasi - harus bernilai 1). 

Sedangkan pers.(5) adalah persamaan schrodinger tidak bergantung waktu

$\left\{ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}+V\left( r \right) \right\}\varphi \left( r \right)=E~\varphi \left( r \right)$    … (7)

Penerapannya di kotak potensial 1D (satu dimensi)

Karena$V\left( r \right)=0$ , maka

$\left\{ \frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}+0 \right\}\varphi \left( x \right)=E~\varphi \left( x \right)$ 

$\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}\varphi \left( x \right)=E~\varphi \left( x \right)$ 

$\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}=E~\varphi $ 

$\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+\frac{2mE\varphi }{{{\hbar }^{2}}}=0$   … (8)

Jika ${{k}^{2}}=\frac{2mE}{{{\hbar }^{2}}}$     … (9) , maka

$\frac{{{\partial }^{2}}\varphi }{\partial {{x}^{2}}}+{{k}^{2}}\varphi =0$ sehingga solusi umumnya

$\varphi \left( x \right)=Acos~kx+Bsin~kx$ 

Untuk x=0

$\varphi \left( 0 \right)=A=0$ 

Untuk x=L

$\varphi \left( L \right)=Bsin~kL=0$ 

$kL=n\pi $      dengan    n=1,2,3, …      mengapa 0 tidak menjadi penyelesaian ?

Atau  $k=\frac{n\pi }{L}$    … (10)

Dari Pers.(9) dan (10) diperoleh

$E=\frac{{{n}^{2}}{{\pi }^{2}}}{{{L}^{2}}}\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}={{n}^{2}}{{E}_{1}}$ dimana ${{E}_{1}}$  adalah energi dasar

Kalo 0 termasuk penyelesaian maka energi dasar = nol !  ga mungkin kayaknya hehe

Daftar Pustaka: Agus Purwanto.2005.FISIKA KUANTUM.Jakarta:Penerbit Gava Media.

salam: Sikyu