Hubungan Beberapa Sistem Koordinat

Sering kita dalam memecahkan masalah menggunakan koordinat kartesian menemui masalah. Untuk itu, dilakukan transformasi dari koordinat cartesius ke dalam koordinat tabung dan koordinat bola. Bisa juga dengan mentransformasikannya dalam bentuk laplacian (laplace).

Hubungan Koordinat Kartesian dan Koordinat Bola

 

Misal titik orange adalah titik P. Maka dalam

koordinat kartesian $P=P\left( x,y,z \right)$

koordinat bola $P=P\left( \rho,\theta,\varphi \right)$

Bola ke kartesian	Kartesian ke bola
\[x=\rho \sin \varphi \cos \theta \]	\[\rho =\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}\]
\[y=\rho \sin \varphi \sin \theta \]	\[\varphi ={{\cos }^{-1}}\frac{z}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}\]
\[z=\rho \cos \varphi \]	\[\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{y}{x}\]

Contoh: Ubah Koordinat dari Bola ke Kartesian

\[\left( 8,\pi /3,2\pi /3 \right)\Rightarrow \left( 2\sqrt{3},6,-4 \right)\]

Di transformasi ke laplacian (Bila $\rho =r$ )

${{\nabla }^{2}}\text{P}=\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{\partial }{\partial r}\left( {{r}^{2}}\frac{\partial \text{P}}{\partial r} \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left( \sin \theta \frac{\partial \text{P}}{\partial \theta } \right)+\frac{1}{{{r}^{2}}si{{n}^{2}}\theta ~}\frac{{{\partial }^{2}}\text{P}}{\partial {{\varphi }^{2}}}$

 

Hubungan Koordinat Kartesian dan Koordinat Silinder

Misal titik orange adalah titik P. Maka dalam
koordinat kartesian $P=P\left( x,y,z \right)$
koordinat silinder $P=P\left( r,\theta ,z \right)$

Silinder ke kartesian	Kartesian ke silinder
\[x=r\cos \theta \]	\[r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\]
\[y=r\sin \theta \]	\[\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{y}{x}\]
\[z=z\]	\[z=z\]

Di transformasi ke laplacian

${{\nabla }^{2}}\text{P}=\frac{{{\partial }^{2}}\text{P}}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{r}\frac{\partial \text{P}}{\partial r}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}\text{P}}{\partial {{\theta }^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}\text{P}}{\partial {{z}^{2}}}$ 

Hubungan Koordinat Kartesius dan Koordinat Polar (Kutub)

Misal titik orange adalah titik P. Maka dalam
koordinat kartesian $P=P\left( x,y \right)$
koordinat bola $P=P\left( r,\theta  \right)$

Polar ke kartesian	Kartesian ke polar
\[x=r\cos \theta \]	\[r=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\]
\[y=r\sin \theta \]	\[\theta ={{\tan }^{-1}}\frac{y}{x}\]

Di transformasi ke laplacian

${{\nabla }^{2}}P=\frac{1}{r}\frac{\partial P}{\partial r}+\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{r}^{2}}}+\frac{1}{{{r}^{2}}}\frac{{{\partial }^{2}}P}{\partial {{\theta }^{2}}}$