Energi Partikel Bebas Yang Berperilaku Sebagai Gelombang

Energi partikel bebas

$E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$ (adalah energi kinetik partikel sedangkan energi potensialnya diabaikan)   … (1)

Energi foton menurut Plank

$E=h\nu $    … (2) bisa ditulis dalam bentuk

$E=\hbar \omega $    … (3)

Momentum Compton

$p=\frac{h}{\lambda }$    … (4) bisa ditulis dalam bentuk

$p=\hbar k$    … (5) ; k=bilangan gelombang

Paket gelombang (transformasi fourier)

$f\left( x \right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,g\left( k \right){{e}^{ikx}}dk$    … (6)

Paket gelombang bergantung waktu

$f\left( x,t \right)=\underset{-\infty }{\overset{+\infty }{\mathop \int }}\,g\left( k \right){{e}^{i\left( kx-\omega t \right)/\hbar }}dk$    … (7)

Dari persamaan-persamaan diatas (3,5,7), Paket gelombang $\psi $ 

$\psi \left( x,t \right)=N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right){{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (8) ; N=konstanta normalisasi

Jika pers.(8) diturunkan terhadap waktu t, maka

$\frac{d\psi }{dt}=N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right)\left( -\frac{iE}{\hbar } \right){{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (9)

Karena $i=\sqrt{-1}$ ;${{i}^{2}}=-1$ , maka

$i\hbar \frac{d\psi }{dt}=N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right)E{{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (10)

$i\hbar \frac{d\psi }{dt}=N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right)\frac{{{p}^{2}}}{2m}{{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (11)

$i\hbar \frac{d\psi }{dt}=N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right)\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}{{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (12)

$i\hbar \frac{d\psi }{dt}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}N\mathop{\int }^{}\varphi \left( p \right){{e}^{i\left( px-Et \right)/\hbar }}dp$    … (13)

$i\hbar \frac{d\psi }{dt}=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{x}^{2}}}$    … (14)

Pers.(14) adalah persamaan diferensial paket gelombang $\psi $ bagi partikel bebas

Disini dapat kamu lihat bahwa

$E=i\hbar \frac{d\psi }{dt}$ 

${{p}^{2}}=-{{\hbar }^{2}}\frac{{{\partial }^{2}}\psi }{\partial {{x}^{2}}}$ atau $p=-i\hbar \frac{\partial \psi }{\partial x}$ 

Dan kita dapat operator diferensial

$E=i\hbar \frac{d}{dt}$ 

$p=-i\hbar \nabla $ 

Sekarang untuk kasus 3D (tida dimensi)

$E=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$ 

$E=\frac{1}{2m}\left( p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2} \right)$ 

$E=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}\left( \frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{x}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{y}^{2}}}+\frac{{{\partial }^{2}}}{\partial {{z}^{2}}} \right)\psi $ 

$E=\frac{-{{\hbar }^{2}}}{2m}{{\nabla }^{2}}\psi $    … (15)

Daftar Pustaka: Agus Purwanto.2005.FISIKA KUANTUM.Jakarta:Penerbit Gava Media.

salam: Sikyu