"Kamu kenal (tau) Newton...?"
"Iyalah broo... Emang kenapa? Dia kan bapak gue!"
"Serius lho?! Pantes aja gue mikirin lho terus ga bisa tidur tau ga lho... pasti apel gue bapak lho yang ngambil!"
"eh iya sob, tadi pas sahur kayaknya bapak gue makan apel deh"
"ooooh berhubung apelnya sudah sama bapak kamu,,, aku juga sama kamu yah... :p"
[apel-aku-dan dia]
Nah kalo kamus udah kenal doi dan bapaknya pasti kenal
juga dengan ketiga hukum geraknya kan? Dengan hukum ini kamu bisa mengenal lebih lanjut si dia menganalisis gerak
benda di waktu lampau sejarah kehidupannya, sekarang dan akan datang apakah kamu bakal bahagia dengan dia kedepannya semua bakal terekspos bro, asyiiik, haha tapi dengan syarat kamus harus mengetahui semua
gaya (gaya total) yang bekerja pada benda (partikel) tanpa terkecuali.
Sampai disini kamus dapat pelajaran berharga sob, kenali dia-pelajari geraknya-analisis gejalanya-dan ambil keputusan kamus. Mau bersama dia apa nggak,,,haha..okeh lannnjuttt
Oleh
karena itu, untuk kondisi khusus dimana gaya total tak dapat diketahui, maka
pendekatan Newton tidak berlaku. Sehingga diperlukan pendekatan baru dengan
meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik partikel, misal
energi totalnya.
Ingat setiap cewek punya kepribadian yang berbeda... lakukan pendekatan yang berbeda, oke sob
Persamaan
gerak partikel yang dinyatakan oleh persamaan Lagrange & Hamilton (L&H)
dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi potensial partikel
tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel.
Ingat! "Belum muhrim = Belum boleh pegangan" (ga perlu kontakan pake gaya, cukup pake energi, simpel) haha :)
Energi
kinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi
potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi
dari posisi.
Pada
dasarnya, persamaan L&H ekivalen dengan persamaan gerak Newton, jika
koordinat yang digunakan adalah koordinat kartesian.
Formalisme Lagrange menggunakan posisi
dan kecepatan sebagai koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan linier
orde-dua, sedangkan pada formalisme Hamilton posisi dan momentum digunakan
untuk koordinat rampatan yang menghasilkan persamaan diferensial orde-satu.
Hasil yang diperoleh dengan kedua formalisme tersebut konsisten dengan hasil
yang diperoleh dengan menggunakan hukum-hukum Newton.
Untuk gaya konservatif (gaya non-konservatif diabaikan), formalisme L&H:
Fungsi Lagrange
|
Fungsi Hamilton
|
$L=T-V$ dengan
$T=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}$
|
$H=T+V$ dengan $T=\frac{{{p}^{2}}}{2m}$
|
Persamaan Lagrange
|
Persamaan Hamilton
|
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial
{{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}$
|
$\frac{\partial H}{\partial
{{p}_{k}}}={{\dot{q}}_{k}}$
$\frac{\partial H}{\partial
{{q}_{k}}}=-{{\dot{p}}_{k}}$
|
Sebelum kita mencari tau asal-usul rumus-rumus dalam tabel, kamus harus tau dulu tentang koordinat rampatan, gaya rampatan dan momentum rampatan yang akan dijelaskan dibawah ini ni...
Koordinat Rampatan (Koordinat Umum)
Posisi
sebuah partikel dalam ruang dapat dinyatakan dengan menggunakan tiga jenis
koordinat; dapat berupa koordinat kartesian, koordinat bola atau koordinat
silinder. Jika partikel bergerak pada
sebuah bidang, maka hanya dibutuhkan dua koordinat untuk menyatakan posisinya,
sedangkan untuk partikel yang bergerak pada sebuah garis lurus atau pada
lintasan lengkung cukup dengan menggunakan satu koordinat saja.
Jika
sistem yang ditinjau mengandung N partikel, maka diperlukan paling kurang 3N
koordinat untuk menyatakan posisi semua partikel (dalam ruang). Secara umum, terdapat n
jumlah minimum koordinat yang diperlukan untuk menyatakan konfigurasi sistem.
Koordinat-koordinat tersebut dinyatakan dengan
${{q}_{1}},{{q}_{2}},\ldots {{q}_{n}}$ (1)
yang disebut dengan koordinat rampatan
(generalized coordinates). Koordinat ${{q}_{k}}$ dapat saja berupa sudut atau jarak. Tiap koordinat
dapat berubah secara bebas terhadap lainnya. Jumlah koordinat n dalam hal ini
disebut dengan derajat kebebasan sistem
tersebut.
Untuk
partikel tunggal, fungsi koordinat rampatan lebih mudah diungkapkan dengan
menggunakan koordinat Kartesius:
$x=x\left( q \right)$
(satu derajat kebebasan - gerak pada sebuah
kurva).
$x=x\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right)$
$y=y\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}} \right)$
(dua derajat kebebasan - gerak pada
sebuah permukaan).
$x=x\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}
\right)$
$y=y\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}
\right)$
$z=z\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},{{q}_{3}}
\right)$
(tiga derajat kebebasan - gerak dalam sebuah
ruang)
Misalkan
q berubah dari harga awal $\left( {{q}_{1}},{{q}_{2}},\ldots \right)$
menuju harga $({{q}_{1}}+\delta {{q}_{1}},{{q}_{2}}+\delta
{{q}_{2}},...)$. Perubahan koordinat Kartesius yang bersesuaian adalah
$\delta x=\frac{\partial x}{\partial
{{q}_{1}}}\delta {{q}_{1}}+\frac{\partial x}{\partial {{q}_{2}}}\delta
{{q}_{2}}+\ldots $ (2)
$\delta y=\frac{\partial y}{\partial
{{q}_{1}}}\delta {{q}_{1}}+\frac{\partial y}{\partial {{q}_{2}}}\delta
{{q}_{2}}+\ldots $ (3)
$\delta z=\frac{\partial z}{\partial
{{q}_{1}}}\delta {{q}_{1}}+\frac{\partial z}{\partial {{q}_{2}}}\delta
{{q}_{2}}+\ldots $ (4)
Turunan
parsial $\partial x/\partial {{q}_{1}}$ dan seterusnya adalah fungsi dari q.
Sebagai contoh, misalkan sebuah partikel bergerak dalam bidang. Misalkan kita
memilih koordinat kutub untuk menyatakan konfigurasi sistem, maka dalam hal ini
${{q}_{1}}=r$ dan ${{q}_{2}}=\theta $ (5)
Selanjutnya
$x=x(r,\theta )=r\cos \theta $
$y=y(r,\theta )=r\sin \theta $ (6)
dan
$\delta x=\frac{\partial x}{\partial
{{q}_{1}}}\delta {{q}_{1}}+\frac{\partial x}{{{q}_{2}}}\delta {{q}_{2}}=\cos
\theta \delta r-r\sin \theta \delta \theta$ (7)
$\delta y=\frac{\partial y}{\partial
{{q}_{1}}}\delta {{q}_{1}}+\frac{\partial y}{{{q}_{2}}}\delta {{q}_{2}}=\sin
\theta \delta r+r\cos \theta \delta \theta$ (8)
Sekarang
perhatikan sebuah sistem yang mengandung sejumlah n partikel; dalam hal ini
mengandung n derajat kebebasan serta koordinat rampatannya dinyatakan dengan
${{q}_{1}},{{q}_{2}},\ldots {{q}_{n}}$ (9)
Selanjutnya perubahan konfigurasi dari $\left(
{{q}_{1}},{{q}_{2}},\ldots ,{{q}_{n}} \right)$ ke konfigurasi di dekatnya $\left(
{{q}_{1}}+\delta {{q}_{1}},{{q}_{2}}+\delta {{q}_{2}},\ldots ,{{q}_{n}}+\delta
{{q}_{n}} \right)$ menyatakan perpindahan partikel ke i dari titik $\left(
{{x}_{i}},{{y}_{i}},{{z}_{i}} \right)$ ke titik di dekatnya $\left(
{{x}_{i}}+\delta {{x}_{i}},{{y}_{i}}+\delta {{y}_{i}},{{z}_{i}}+\delta
{{z}_{i}} \right)$ dimana
$\delta
{{x}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}}$ (10)
$\delta
{{y}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\partial {{y}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}}$ (11)
$\delta
{{z}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{\partial {{z}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}}$ (12)
Persamaan
(10-12) menunjukkan bahwa turunan parsialnya merupakan fungsi q. Selanjutnya
kita akan mengambil indeks i untuk menyatakan koordinat rectangular, dan indeks
k untuk menyatakan koordinat rampatan. Simbol xi kita pakai untuk
menyatakan sembarang koordinat rectangular. Jadi, untuk sistem yang mengandung
N partikel, i dapat berharga antara 1 dan 3N.
GAYA RAMPATAN
Jika
sebuah partikel mengalami pergeseran sejauh $\delta r$ dibawah pengaruh sebuah
gaya aksi F, gaya yang bekerja
padanya dinyatakan dengan
$\delta
W=\text{F}\cdot \delta \text{r}={{F}_{x}}\delta x+{{F}_{y}}\delta
y+{{F}_{z}}\delta z$ (13)
Dalam bentuk yang lebih sederhana dapat
dinyatakan dengan
$\delta
W=\sum\limits_{i}{{{F}_{i}}\delta {{x}_{i}}}$ (14)
Tampak
bahwa persamaan di atas tidak hanya
berlaku untuk partikel tunggal, tetapi juga untuk sistem banyak partikel. Untuk
satu partikel, harga i adalah dari 1 sampai 3. Untuk N partikel, harga i adalah
dari 1 sampai 3N.
Jika
pertambahan $\delta {{x}_{i}}$ dinyatakan dalam koordinat rampatan, maka
diperoleh
$\delta
W=\sum\limits_{i}{\left( {{F}_{i}}\sum\limits_{k}{\frac{\partial
{{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}}} \right)}$
$=\sum\limits_{i}{\left(
\sum\limits_{k}{{{F}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}\delta
{{q}_{k}}} \right)}$ (15)
$=\sum\limits_{i}{\left(
\sum\limits_{k}{{{F}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}}
\right)\delta {{q}_{k}}}$
Persamaan di atas juga dapat ditulis
$\delta
W=\sum\limits_{k}{{{Q}_{k}}\delta {{q}_{k}}}$ (16)
dimana
${{Q}_{k}}=\sum\limits_{{}}{\left(
{{F}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{d{{q}_{k}}} \right)}$ (17)
Besaran
${{Q}_{k}}$ yang didefinisikan menurut persamaan di atas disebut dengan gaya
rampatan. Oleh karena perkalian ${{Q}_{k}}\delta {{q}_{k}}~$ memiliki dimensi
kerja/usaha, maka dimensi ${{Q}_{k}}$ adalah gaya jika ${{q}_{k}}$ menyatakan
jarak, dan dimensi ${{Q}_{k}}$ adalah torka, jika ${{q}_{k}}$ menyatakan sudut.
Gaya Rampatan untuk Sistem Konservatif
Jika sebuah gaya
bekerja pada sebuah partikel dalam sebuah medan gaya konservatif, besarnya gaya
tersebut dinyatakan oleh persamaan
${{F}_{i}}=-\frac{\partial
V}{\partial {{x}_{i}}}$ (18)
dimana V menyatakan sebuah fungsi energi potensial. Oleh karena
itu perumusan gaya rampatan dapat dinyatakan
${{Q}_{k}}=-\left(
\sum\limits_{i}{\frac{\partial V}{\partial {{x}_{i}}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}} \right)$ (19)
Suku yang berada dalam tanda kurung tak lain adalah turunan
parsial fungsi V terhadap${{q}_{k}}$. Oleh karena itu
${{Q}_{k}}=-\frac{\partial
V}{\partial {{q}_{k}}}$ (20)
Misalkan, kita menggunakan koordinat kutub, ${{q}_{1}}=r;{{q}_{2}}=\theta
$, maka gaya rampatan dapat dinyatakan dengan ${{Q}_{r}}=-\frac{\partial
V}{dr};{{Q}_{\theta }}=-\frac{\partial V}{\partial \theta }$.Jika V merupakan fungsi r saja (dalam kasus
gaya sentral), maka ${{Q}_{\theta }}=0$.
Persamaan Lagrange
Untuk
mencari persamaan diferensial gerak sebuah benda yang dinyatakan dalam
koordinat rampatan, kita dapat memulai dengan persamaan berikut:
${{F}_{i}}={{m}_{i}}{{\ddot{x}}_{i}}$ (21)
dan selanjutnya kita akan mencoba menyatakan
persamaan tersebut dalam q. Pendekatan pertama yang akan kita pakai adalah dari
persamaan energi. Kita akan menghitung energi kinetik T dalam bentuk koordinat
Kartesian dan selanjutnya kita akan nyatakan dalam koordinat rampatan dan
turunannya terhadap waktu. Energi kinetik T dari sebuah sistem yang mengandung
N partikel dapat dinyatakan dengan
$T=\sum\limits_{i=1}^{k}{\left[
\tfrac{1}{2}{{m}_{i}}(\dot{x}_{1}^{2}+\dot{y}_{i}^{2}+\dot{z}_{i}^{2}
\right]}$ (22)
atau dalam bentuk yang lebih ringkas ditulis
sebagai berikut
$T=\sum\limits_{i=1}^{3N}{\tfrac{1}{2}{{m}_{i}}\dot{x}_{i}^{2}}$ (23)
Mari kita mencoba menyatakan hubungan antara
koordinat x dan q yang juga mengandung waktu t secara eksplisit. Kita dapat
misalkan
${{x}_{i}}={{x}_{i}}({{q}_{1}},{{q}_{2}},...,{{q}_{n}},t)$ (24)
dan selanjutnya
${{\dot{x}}_{i}}=\sum\limits_{{}}{\frac{\partial
{{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}{{{\dot{q}}}_{k}}+\frac{\partial
{{x}_{i}}}{\partial t}}$ (25)
Dalam
pembahasan selanjutnya, kita tetapkan bahwa harga i adalah 1,2, …..3N dimana N
menyatakan jumlah partikel dalam sistem, dan harga k adalah 1,2, . ….n; dimana
n menyatakan jumlah koordinat rampatan (derajat kebebasan) sistem. Oleh karena
itu kita dapat melihat bahwa energi kinetik sebagai fungsi koordinat rampatan,
turunannya terhadap waktu, atau mungkin dalam waktu. Dalam banyak hal, waktu t
tidak secara eksplisit terkait hubungan antara ${{x}_{i}}$ dan ${{q}_{k}}$ ,
sehingga $\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial t}=0$ . Jelaslah bahwa energi
kinetik T merupakan fungsi kuadrat yang homogen dari kecepatan rampatan ${{\dot{q}}_{k}}$.
Dari persamaan
$\frac{\partial
{{{\dot{x}}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}$ (26)
Kalikan kedua ruas (ruas kiri dan kanan)
dengan ${{\dot{x}}_{i}}$ dan diferensialkan terhadap t, akan diperoleh:
$\frac{d}{dt}\left(
{{{\dot{x}}}_{i}}\frac{\partial {{{\dot{x}}}_{i}}}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}
\right)=\frac{d}{dt}\left( {{{\dot{x}}}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}} \right)$
$={{\ddot{x}}_{i}}\frac{\partial
{{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}+{{\dot{x}}_{i}}\frac{\partial
{{{\dot{x}}}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}$ (27)
atau
$\frac{d}{dt}\left(
\frac{\partial }{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\frac{\dot{x}_{i}^{2}}{2}
\right)={{\ddot{x}}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial
{{q}_{k}}}+\frac{\partial }{\partial {{q}_{k}}}\left( \frac{\dot{x}_{i}^{2}}{2}
\right)$ (28)
Jika selanjutnya kita kalikan mi
dan kita gunakan hubungan
,
kita dapat peroleh
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}\left( \frac{{{m}_{i}}\dot{x}_{i}^{2}}{2}
\right)={{F}_{i}}\frac{\partial {{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}}+\frac{\partial
}{\partial {{q}_{k}}}\left( \frac{{{m}_{i}}\dot{x}_{i}^{2}}{2} \right)$ (29)
Lakukan penjumlahan terhadap i akan diperoleh
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\sum\limits_{i}{\left( {{F}_{i}}\frac{\partial
{{x}_{i}}}{\partial {{q}_{k}}} \right)+\frac{\partial T}{\partial {{q}_{k}}}}$ (30)
Dari definisi gaya rampatan kita peroleh
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}={{Q}_{k}}+\frac{\partial T}{\partial
{{q}_{k}}}$ (31)
Ini adalah persamaan diferensial gerak yang
dinyatakan dalam koordinat rampatan dan dikenal dengan persamaan Lagrange untuk
gerak.
Dalam
kasus gerakannya adalah konservatif, persamaan Lagrange dapat ditulis sebagai
berikut:
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial T}{\partial
{{q}_{k}}}-\frac{\partial V}{\partial {{q}_{k}}}$ (32)
Persamaan ini biasanya ditulis dalam bentuk
yang lebih singkat dengan mendefinisikan fungsi Lagrangian L yakni
$L=T-V$
(33)
Yang berarti bahwa kita dapat menyatakaan T
dan V dalam koordinat rampatan. Oleh karena $V=V\left( {{q}_{k}} \right)$ dan \[\partial
V/\partial {{\dot{q}}_{k}}=0\], kita peroleh
$\frac{\partial
L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}$ dan
$\frac{\partial
L}{\partial {{q}_{k}}}=\frac{\partial T}{\partial {{q}_{k}}}-\frac{\partial
V}{\partial {{q}_{k}}}$ (34)
Persamaan Lagrange dapat ditulis
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=\frac{\partial L}{\partial {{q}_{k}}}$
Momentum Rampatan
Tinjaulah
gerak sebuah partikel tunggal yang bergerak sepanjang garis lurus (rectilinier motion). Energi kinetiknya
adalah
$T=\tfrac{1}{2}m{{\dot{x}}^{2}}$ (76)
dimana m adalah massa partikel, dan x adalah
koordinat posisinya. Selanjutnya disamping mendefinisikan momentum partikel p
sebagai hasil kali $m\dot{x}$ , kita juga dapat mendefinisikan p sebagai
kuantitas ${}^{\partial T}/{}_{\partial \dot{x}}$, yakni:
$p=\frac{\partial
T}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ (77)
Dalam kasus dimana sebuah sistem yang
digambarkan oleh koordinat rampatan${{q}_{1}},{{q}_{2}},\ldots
,{{q}_{k}},\ldots ,{{q}_{n}}$, kuantitas
didefinisikan dengan
${{p}_{k}}=\frac{\partial
L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}$ (78)
yang disebut momentum rampatan. Persamaan
Lagrange untuk sistem konservatif dapat ditulis
${{\dot{p}}_{k}}=\frac{\partial
L}{\partial {{q}_{k}}}$ (79)
Fungsi Hamilton
Persamaan
Hamilton untuk gerak juga dinamakan persamaan kanonik gerak. Pandanglah sebuah
fungsi dari koordinat rampatan
$H=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}$ (95)
Untuk sebuah sistem dinamik sederhana, energi
kinetik sistem adalah fungsi kuadrat dari
dan energi potensialnya merupakan fungsi q
saja :
$L=T({{q}_{k}},{{\dot{q}}_{k}})-V({{q}_{k}})$ (96)
Berdasarkan teorema Euler untuk fungsi
homogen, diperoleh
$\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L}=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}\frac{\partial
L}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}}=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}\frac{\partial
T}{\partial {{{\dot{q}}}_{k}}}=2T}$ (97)
Oleh karena itu :
$H=\sum\limits_{k}{{{{\dot{q}}}_{k}}{{p}_{k}}-L=2T-(T-V)=T+V}$ (98)
Persamaan ini tak lain adalah energi total
dari sistem yang kita tinjau. Selanjutnya, pandang n buah persamaan yang
ditulis sebagai :
${{p}_{k}}=\frac{\partial
L}{\partial {{q}_{k}}}$ (k=1,2,…,n) (99)
dan nyatakan $\dot{q}$ dalam p dan q
${{\dot{q}}_{k}}={{\dot{q}}_{k}}({{p}_{k}},{{q}_{k}})$ (100)
Dengan persamaan di atas, kita dapat nyatakan
fungsi H yang bersesuaian dengan variasi $\delta {{p}_{k}},\delta {{q}_{k}}$ sebagai berikut
$\delta
H=\sum\limits_{k}{\left[ {{p}_{k}}\delta
{{{\dot{q}}}_{k}}+{{{\dot{q}}}_{k}}\delta {{p}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial
{{{\dot{q}}}_{k}}}\delta {{{\dot{q}}}_{k}}-\frac{\partial L}{\partial
{{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}} \right]}$ (101)
Suku pertama dan suku kedua yang ada dalam
tanda kurung saling meniadakan, oleh karena menurut defenisi ${{\dot{p}}_{k}}=\partial
L/\partial {{q}_{k}}$, oleh karena itu
$\delta
H=\sum\limits_{k}{\left[ \dot{q}\delta {{p}_{k}}-{{{\dot{p}}}_{k}}\delta
{{q}_{k}} \right]}$ (102)
Variasi fungsi H selanjutnya dapat dinyatakan
dalam persamaan berikut
$\delta
H=\sum\limits_{k}{\left[ \frac{\partial H}{\partial {{p}_{k}}}\delta
{{p}_{k}}+\frac{\partial H}{\partial {{q}_{k}}}\delta {{q}_{k}} \right]}$ (103)
Akhirnya diperoleh
$\frac{\partial H}{\partial
{{p}_{k}}}={{\dot{q}}_{k}}$
$\frac{\partial H}{\partial
{{q}_{k}}}=-{{\dot{p}}_{k}}$
Dua
persamaan terakhir ini dikenal dengan persamaan kanonik Hamilton untuk gerak. Persamaan-persamaan
ini terdiri dari 2n persamaan defernsial orde-1 (bandingkan dengan persamaan
Lagrange yang mengandung n persamaan diferensial orde-2. Persamaan Hamilton
banyak dipakai dalam mekanika kuantum (teori dasar gejala atomik).
Penurunan Persamaan Hamilton
$dL=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left( \frac{\partial
L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+\frac{\partial L}{\partial
{{{\dot{q}}}_{i}}}d{{{\dot{q}}}_{i}} \right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt$ (a)
Dengan
mengingat momentum rampatan sebagai
${{p}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{i}}}$ (b)
Maka
pers.(a) menjadi
$dL=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left( \frac{\partial
L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+{{p}_{i}}d{{{\dot{q}}}_{i}}
\right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt$ (c)
Tulis
ulang menjadi
$dL=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left( \frac{\partial
L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+d\left( {{p}_{i}}{{{\dot{q}}}_{i}}
\right)-{{{\dot{q}}}_{i}}d{{p}_{i}} \right)+\frac{\partial L}{\partial t}dt$ (d)
Atur
lagi menjadi
$d\left( \underset{i}{\mathop \sum
}\,{{p}_{i}}{{{\dot{q}}}_{i}}-L \right)=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left(
-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+{{{\dot{q}}}_{i}}d{{p}_{i}}
\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt$ (e)
Persamaan
di ruas kiri adalah Hamiltonian yang sudah kita definisikan di pers.(95)
$dH=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left(
-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+{{{\dot{q}}}_{i}}d{{p}_{i}}
\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt$ (f)
Kita juga dapat menghitung total diferensial
dari Hamiltonian H yang bergantung waktu, sama seperti yang kita lakukan pada
Lagrangian diatas, hasilnya
$dH=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left(
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+\frac{\partial H}{\partial
{{p}_{i}}}d{{p}_{i}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt$ (g)
Dari pers.(f) dan (g) diperoleh
$\underset{i}{\mathop \sum }\,\left(
-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+{{{\dot{q}}}_{i}}d{{p}_{i}}
\right)-\frac{\partial L}{\partial t}dt$
$=\underset{i}{\mathop \sum }\,\left(
\frac{\partial H}{\partial {{q}_{i}}}d{{q}_{i}}+\frac{\partial H}{\partial
{{p}_{i}}}d{{p}_{i}} \right)+\frac{\partial H}{\partial t}dt$ (h)
Diperoleh
$\frac{\partial H}{\partial
{{q}_{i}}}=-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}~~~;~~~\frac{\partial
H}{\partial {{p}_{i}}}={{\dot{q}}_{i}}~~~;~~\frac{\partial H}{\partial
t}=-\frac{\partial L}{\partial t}~$
Ingat persamaan lagrange
$\frac{d}{dt}\frac{\partial
L}{d{{{\dot{q}}}_{i}}}-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{i}}}=0$
Dengan
$\frac{\partial L}{\partial
{{q}_{i}}}={{\dot{p}}_{i}}$
Maka Hamiltonian menjadi
$\frac{\partial H}{\partial
{{q}_{i}}}=-{{\dot{p}}_{i}}~~~;~~~\frac{\partial H}{\partial
{{p}_{i}}}={{\dot{q}}_{i}}~~~;~~\frac{\partial H}{\partial t}=-\frac{\partial
L}{\partial t}$
